Loi De Metcalfe

Robert Metcalfe, inventeur du protocole Ethernet et fondateur de la société 3Com, a énoncé une loi empirique connue et désignée depuis sous le terme "loi de Metcalfe".

Cette loi dit la chose suivante :

"L'utilité d'un réseau est proportionnelle au carré du nombre de noeuds qui la composent."

Elle s'applique à toute forme de réseaux : téléphone, fax, Internet...

Pour parler de réseau, il faut qu'il y ait au moins deux participants. Mais il va de soi que s'ils ne sont que deux, le réseau qu'ils forment n'est pas très "utile", au sens où il ne permet pas d'accomplir beaucoup de choses. Ainsi, un ensemble constitué de deux téléphones ne permet un échange qu'entre deux personnes. En revanche, historiquement, on a vu qu'au fur et à mesure que le réseau téléphonique s'est étendu, jusqu'à aujourd'hui où tout le monde -du moins dans le monde développé- possède au moins un appareil (souvent plusieurs avec les mobiles), son utilité a grandi de manière exponentielle2?. Aujourd'hui, le réseau téléphonique est devenu indispensable à la vie sociale et économique.

La même chose s'est passée avec Internet.

La loi de Metcalfe peut donc être représentée par le schéma suivant :

Jerome Delacroix

Discussion:

Cette loi n'est pas franchement étonnante, on la formulerait même a priori. En effet, un réseau de N personnes se connaissant toutes autorise N(N-1)/2 relations, et lorsque N est grand, ce nombre est de l'ordre de N²/2, donc varie effectivement comme le carré de N.

Il y a plus amusant encore, c'est que la capacité sociale d'un individu ne varie pas comme le carré de N, mais de manière moins rapide. À vue de nez, je dirais comme N ou comme N.log(N), dans le premier cas parce que nous gérons notre mémoire de manière linéaire, dans le second, parce qu'on s'organise en arbre.

Donc, puisque d'un côté on a une contrainte globale qui est O(N²) et de l'autre une contrainte local qui est o(N²), cela veut dire qu'il existe un seuil pour N au-delà duquel la contrainte globale excède la contrainte locale, autrement dit : où il y a plus de désavantage à faire partie d'un réseau que d'avantage.

Cette limite est l'ordre de grandeur d'une clique au sein du réseau en question, et c'est essentiellement pour cette raison humaine trop humaine que les gens s'agrègent en partis, groupes, clubs, lobbies, troupeaux, etc. -- esc

2? P.S.: fonction O(exp(t²)) du temps t, et fonction polynomiale O(n²) du nbre de connectés n, je suppose. Le dire explicitement. Ce qui m'amène (inductivement) à le croire : je dirais que l'utilité du réseau croît comme un polynome de degré deux du nombre de connectés3?, et le nombre de connectés croît au début comme une exponentielle du temps, puis se raccroche sur une loi logistique. Encore une fois, c'est du pur bon sens : si N personnes ont des téléphones portables, elles incitent (k fois N) correspondants à acheter elles aussi un portable pour communiquer moins cher; d'où loi exponentielle au voisinage du temps zéro. (J'ai pu vérifier cette loi sur un exemple d'exercice d'économie qu'un ami devait résoudre; mais on ne lui demandait que de donner des chiffres, et pas de chercher à les expliquer par un raisonnement de cette sorte -- ce qui eût pourtant été éclairant) -- esc

3? Il serait intéressant d'adopter une approche à la Popper là-dessus, car Metcalfe énonce "empiriquement" que l'utilité du réseau (dont je me demande au passage comment il la mesure; avec des sous je suppose) croît comme N², où N est le nombre de connectés... Or, ce "constat" porte sur des réseaux de type "téléphone portable", ou "peer2peer", qui sont des agrégats de liaisons binaires (même une clique peut être vue comme une somme de couples ou de paires). Si on part de ce point de vue "en liaison binaire" et qu'on applique mon raisonnement, on trouve une idée qui justifie le constat empirique de Metcalfe... Cependant... si on imagine un réseau où l'unité sociale soit de TROIS personnes (ce n'est pas facile à imaginer, mais admettons une action technologico-sociale atomique qui ne pourrait se faire qu'à trois (hum!)...), alors avec un raisonnement analogue on trouverait une utilité qui varierait comme le CUBE de N. Nous avons là une prédiction falsifiable, si toutefois une telle structure technologico-sociale vient au monde un jour...4? -- esc

A une architecture de réseau Mesh Network / Wi Fi par exemple pourrait correspondre cette nécessaire unité sociale à trois dans la mesure où pour grandir il lui faut jouer de la triangulation pour contourner les obstacles ;-) -- oz

Peut-être. Il me semble que l'interaction trinitaire doit avoir la propriété de ne pas pouvoir se décomposer en trois interactions binaires. Sans quoi on est ramené au cas précédent. Mais, juste pour voir, il serait intéressant de voir si l'utilité d'un Mesh Network varie comme le cube (ou presque comme le cube) du nombre de connectés. Qui sait ? - mais j'en doute. -- esc

4? Cadeau-bonus : si on renverse le calcul, et si on pose d comme étant l'exposant selon lequel varie u(N) ~ k.N^d, alors d indique la "dimensionalité" de la structure sociale de base sous-jacente au réseau. Un réseau dont l'utilité croît moins vite que le carré de N est un réseau... autiste. -- esc

Il n'y a pas que le nombre de noeuds du réseau qui compte. Il faudrait aussi faire intervenir dans le modèle l'activité entre deux noeuds reliés, de même qu'on mesure l'influx nerveux sur une synapse. Jerome Delacroix

Certes, Jérôme. Mais comme on n'a toujours pas dit en quoi consistait au juste cette "utilité", la discussion risque de tourner court ! J'ai supposé pour ma part que l'auteur la quantifiait en s'en tenant à un critère économique (par exemple, l'utilité du réseau téléphonique est mesurée par le chiffre d'affaires des opérateurs). Si l'on s'en tient à cette idée, on peut toujours poser autoritairement que l'utilité u vaut k.N^d.f(C), où k est une constante, d la dimensionnalité sociale du réseau (2 dans le cas d'un p2p), N le nombre de sites, et f(C) une fonction f dépendant de la "connectivité" du réseau (i.e. de ce qu'on fait avec, "l'influx nerveux", comme tu dis). Deux réseaux A(N1) et A(N2) de même type mais avec un nombre de sites différents ont alors le même k, le même d et le même f(C), de sorte que le rapport de leur utilité est toujours u(N1)/u(N2) = (N1/N2)^d. Si donc on se limite pour chaque étude à comparer des réseaux de même nature, on peut retomber sur une loi de type Metcalfe. -- esc

La loi de Metcalfe tient pour acquis que l'efficacité nait des échanges. Cette loi doit donc être comprise, au sens infrastructure (en comptant le nombre de noeuds) en terme de potentialité d'échanges possibles ou en terme de production (en comptant cette fois les noeuds actifs). Il faudrait introduire un ratio des échanges réalisés par rapport aux échanges possibles et parler de potentialité d'échange du réseau plutôt que d'utilité. Quant à introduire la qualité des échanges...Jean Marc Bondon

C'est une discussion passionnante même si j'ai eu un peu de mal à piger la mise au cube.. (l'impression d'être un peu mis en boîte :-) Dans la série des valeurs d'usages empiriques, d'inspiration assez probablement business, on a aussi la Loi De Reed. Sebastien Sauteur